$$ e^{πi} + 1 = 0 $$

で表されるオイラーの等式は, プラス1して0になっている所が美しくない.

結局は, 円周率$π$を$3.141…$と定義してしまったのがいけないんだと思う.

もし円周率が$τ=2π=6.283…$であったなら,

$$ e^{τi} = 1 $$

となり, より美しい式となったのに…

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$τ$とド・モアブルの法則

オイラーの等式の円周率が$τ$だったバージョンについては, ド・モアブルの法則で簡単に導くことができる.

$$ e^{τi} = e^{2πi} = \cos{2π} + i\sin{2π} = 1 $$

$τ$と円の面積

円の面積や円周の長さを, $π$ではなく$τ$で表すと関係性がより美しく見て取れる.

それぞれτを用いて表すと,

$$ l = τr, S = \frac{1}{2}τr^2 $$

となる. 一見$\frac{1}{2}$という値が気になる所であるが, ここで物理における公式を挙げてみる.

自然落下運動を考えた時, 速度$v$と位置$x$は, 重力加速度を$g$, 時間を$t$として以下の式で求めることができる.

$$ v = gt, x = \frac{1}{2}gt^2 $$

$π$を$τ$に置き換える事によって, 係数が一致する. むしろ$τ$の方が正規化できていいのでは…? と言いたいくらいだ.