懐かしい問題のメモを発掘するシリーズ

FREE Wi-Fi

$$ \int_{-2}^{2} \biggl(x^3 \cos{\frac{x}{2} + \frac{1}{2}} \biggr) \sqrt{4-x^2} dx $$

The Wi-Fi password is the first 10 digits of the answer.

とある場所のフリーWIfiのパスワードが,定積分を解かないと分からない無情な…いや, ユーモアあふれるものになっていたらしい…

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解き方

まず, 式を展開して整理する.

$$ \int_{-2}^{2} \biggl(x^3 \cos{\frac{x}{2} + \frac{1}{2}} \biggr) \sqrt{4-x^2} dx = \int_{-2}^{2} \biggl(x^3 \cos{\frac{x}{2}} \sqrt{4-x^2} \biggr) dx + \frac{1}{2} \int_{-2}^{2} \sqrt{4-x^2} dx $$

ここで, $y=x^3$は奇関数, $\cos{\frac{x}{2}}$は偶関数, $\sqrt{4-x^2}$は偶関数であるから, 展開して整理した式の左側の定積分は0となる. よって,

$$ \int_{-2}^{2} \biggl(x^3 \cos{\frac{x}{2}} \sqrt{4-x^2} \biggr) dx + \frac{1}{2} \int_{-2}^{2} \sqrt{4-x^2} dx = \frac{1}{2} \int_{-2}^{2} \sqrt{4-x^2} dx $$

また, $x^2+y^2=4$は半径2の円の方程式であり, $\sqrt{4-x^2}$はその半円を表す. 半径2の半円の面積は$2π$であるから,

$$ \frac{1}{2} \int_{-2}^{2} \sqrt{4-x^2} dx = \frac{1}{2} \cdot 2π = π $$

パスワードは最初の10桁なので, $3141592653$となる. セキュリティ弱いなぁ…(?)