$$ 2 \sqrt{100 + \sqrt{9991}} - \sqrt{206} $$

を解け.

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解法

1つ目の項だけ計算すると,

$$ 2 \sqrt{100 + \sqrt{9991}} = 2 \sqrt{100 + \sqrt{10000-9}} \\ = 2 \sqrt{100 + \sqrt{(100+3)(100-3)}} \\ = 2 \sqrt{100 + \sqrt{103}\sqrt{97}} $$

根号の中だけに注目すると,

$$ 100 + \sqrt{103}\sqrt{97} = 100 + 2 * \frac{\sqrt{103}}{\sqrt{2}} * \frac{\sqrt{97}}{\sqrt{2}} \\ = \biggl( \frac{\sqrt{103}}{\sqrt{2}} + \frac{\sqrt{97}}{\sqrt{2}} \biggr) ^2 $$

となるから,

$$ 2 \sqrt{100 + \sqrt{9991}} = 2 * \biggl( \frac{\sqrt{103}}{\sqrt{2}} + \frac{\sqrt{97}}{\sqrt{2}} \biggr) = \sqrt{206} + \sqrt{194} $$

よって,

$$ 2 \sqrt{100 + \sqrt{9991}} - \sqrt{206} = \sqrt{206} + \sqrt{194} - \sqrt{206} \\ = \sqrt{194} $$

おしまい!