リーマンゼータ関数ζ(s)は, 以下の式で定義される.

$$ ζ(s)= \sum_{n=1}^∞ \frac{1}{n^s} $$

このとき,

$$ ζ(2) = \sum_{n=1}^{∞} \frac{1}{n^2} = \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + ... $$

を求めよ.

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フーリエ級数展開について

$$ f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^∞ (a_n \cos{\frac{2nπx}{T}} + b_n \sin{\frac{2nπx}{T}} ) $$

ただし,

$$ \begin{align} &a_n = \frac{2}{T} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(x) \cos{\frac{2nπx}{T}} dx \\ &b_n = \frac{2}{T} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(x) \sin{\frac{2nπx}{T}} dx \\ \end{align} $$

である.

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解法

$$ f(x) = x^2 (-π \leq x \leq π) $$

とおくと, 周期$T$は$2π$なので,

$$ a_n = \frac{1}{π} \int_{-π}^{π} x^2 \cos{nx} dx $$

$a=0$のとき,

$$ a_0 = \frac{1}{π} \int_{-π}^{π} x^2 dx = \frac{1}{π} \biggl[ \frac{1}{3} x^3 \biggr] ^π_{-π} = \frac{2}{3}π^2 $$

$a≠0$のとき,

$$ \begin{align} a_n &= \frac{1}{π} \int_{-π}^{π} x^2 \cos{nx} dx \\ &= \frac{1}{π} \biggl( \int_{-π}^{π} \frac{2x}{n} \sin{nx} dx - \biggl[ \frac{x^2}{n} \sin{nx} \biggr] ^π_{-π} \biggr) \\ &= \frac{1}{π} \int_{-π}^{π} \frac{2x}{n} \sin{nx} dx \\ &= \frac{1}{π} \biggl( \int_{-π}^{π} -\frac{2}{n^2} \cos{nx} dx + \biggl[ \frac{2x}{n^2} \cos{nx} \biggr] ^π_{-π} \biggr) \\ &= \frac{1}{π} \biggl( -\frac{2}{n^2} \biggl[ \sin{nx} \biggr] ^π_{-π} + \biggl[ \frac{2x}{n^2} \cos{nx} \biggr] ^π_{-π} \biggr) \\ &= \frac{1}{π} \biggl[ \frac{2x}{n^2} \cos{nx} \biggr] ^π_{-π} \\ &= \frac{1}{π} \biggl( \frac{2π \cos{nπ} }{ n^2} - \frac{-2π \cos{(-nπ)}}{n^2} \biggr) \\ &= \frac{4\cos{nπ}}{n^2} \end{align} $$

$k$を整数として, $n=2k$ のとき $\cos{nπ}=1$, $n=2k+1$ のとき $\cos{nπ}=-1$ なので,

$$a_n = \frac{4}{n^2}(-1)^n$$

となる. また,正弦関数は奇関数であるから,

$$b_n = \frac{1}{π} \int_{-π}^{π} x^2 \sin{nx} dx = 0$$

よって,

$$x^2 = \frac{1}{3}π^2 + \sum_{n=1}^{∞} \frac{4}{n^2}(-1)^n \cos{nx}$$

x=πのとき,

$$π^2 = \frac{1}{3}π^2 + \sum_{n=1}^{∞} \frac{4}{n^2}(-1)^n \cos{nπ}$$

nが自然数のとき,

$$(-1)^n\cos{nπ} = 1$$

となるので,

$$π^2 = \frac{1}{3}π^2 + \sum_{n=1}^{∞} \frac{4}{n^2}$$ $$\sum_{n=1}^{∞} \frac{4}{n^2} = \frac{2}{3}π^2$$ $$\sum_{n=1}^{∞} \frac{1}{n^2} = \frac{π^2}{6}$$

やったね！！